在线 2D 图形计算器：把函数画出来，让微积分看得见
一款交互式 2D 函数绘图仪，可在笛卡尔坐标系上绘制一条或多条 y=f(x) 表达式。可叠加数值导数虚线并在任意点绘制切线，手动设定视口或使用标准/三角函数/缩放预设，支持平移、以光标为中心缩放及重置视图。全部以清晰的 SVG 渲染并在浏览器本地计算。
二维图形计算器使用说明
绘制多个函数、导数和切线
二维图形计算器把抽象的函数表达式变成直观的曲线图像，支持多条曲线叠加、数值导数显示、任意点切线绘制。所有计算在浏览器本地完成，打开网页就能用。适合高中函数学习、大学微积分可视化，以及工程师快速验证表达式形状。
01 绘制函数
每一行定义一个函数。在输入框中输入关于 x 的表达式——例如 sin(x)、x^2 − 4 或 2*sin(x) + cos(2*x)——图形会自动更新。使用色块识别每条曲线。勾选 Visible 可在不删除曲线的情况下显示/隐藏它，Derivative 可叠加 f′(x)，Tangent 可在指定 x 值处绘制切线（在出现的数值框中输入该 x）。点击 × 移除函数，或点击 + Add function 添加另一个函数。
可视窗口通过 xmin/xmax 和 ymin/ymax 设置。拖拽画布可平移，滚动/捏合可缩放。预设按钮可快速重置为标准范围、配置适合三角函数的窗口或放大。图例标识每个绘制的序列。
表达式必须显式书写运算符：乘法用 *、幂用 ^。例如 2*x^2 是合法的，而 2x² 会报错。支持的函数包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、log、exp、sqrt、abs、min、max、pow、floor、ceil、round，常数有 pi 和 e。
三角函数默认使用弧度制。如果你习惯角度，请用 pi/180 转换，例如 sin(30*pi/180)。这是微积分的标准约定——只有在弧度制下，sin 的导数才恰好是 cos，公式才最简洁。
- 支持的运算符：+、−、*、/、^ 和括号
- 函数：sin、cos、tan、asin、acos、atan、log、exp、sqrt、abs、min、max、pow、floor、ceil、round
- 可使用常量 pi 和 e
- 无效表达式会在该函数行上显示内联错误
- 所有计算在浏览器本地完成，不上传数据
02 导数与切线的几何意义
导数 f′(x) 是曲线在某一点切线的斜率，刻画函数变化的快慢。f′(x) > 0 表示函数在上升，f′(x) < 0 表示在下降，f′(x) = 0 的点往往是"山峰"或"山谷"。打开 Derivative 开关，你会看到原函数与导数曲线一上一下地呼应——原函数取极值的位置，恰好是导数过零的位置。
切线是"用直线逼近曲线"的直观体现。在一点附近，光滑曲线可以被它的切线很好地近似，这叫局部线性化。设一个 x 值，工具会画出该点的切线并显示方程 y = f(a) + f′(a)(x − a)。牛顿迭代、泰勒展开、梯度下降等算法，本质上都是反复用直线去逼近弯曲的对象。
本工具用中心差分公式 f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) 计算导数，h 自适应选取。这种方法对任何能算出函数值的表达式都有效，不需要套用求导法则。代价是微小的截断误差，对光滑函数约 8-10 位有效数字。对 |x| 这类带尖点的函数，导数在尖点处会给出介于左右导数之间的值，这是数值方法的固有局限。
03 从解析几何到函数图像
把"式子"变成"图形"的想法，是 17 世纪笛卡尔与费马几乎同时提出的，史称解析几何。它的核心洞见是：方程 f(x,y) = 0 的解集可以在平面上画成一条曲线，于是代数问题可以转化成几何问题，反之亦然。今天你在屏幕上看到的每一条 sin 曲线、每一条抛物线，都是这套思想的延续。
函数图像不仅是"画图"，更是"读图"。物理学中，位移—时间图的斜率是速度；经济学中，成本函数的导数是边际成本；工程中，控制系统的阶跃响应、滤波器的频率特性，都是先画出图像再分析。会用图像"读"函数，是理工科学生最重要的基本功之一。
函数行
- f(x) input输入要绘制的关于 x 的表达式（例如 sin(x)）。
- Visible在不移除曲线的情况下显示或隐藏它。
- Derivative叠加数值导数 f′(x)。
- Tangent在特定 x 值处绘制切线。
- 切线点 X设置绘制切线的 x 值（开启 Tangent 时显示）。
- ×移除该函数行（仅剩下一个时禁用）。
窗口与画布
- xmin / xmaxx 轴的左右边界。
- ymin / ymaxy 轴的上下边界。
- -10~10重置为 −10 到 10 的标准窗口。
- trig设置适合三角函数的窗口。
- zoom围绕原点放大。
- drag canvas通过拖拽平移视图。
- scroll / pinch交互式放大和缩小。
- reset view画布上的按钮，在鼠标拖动或滚轮缩放后恢复图表。
添加函数
- + Add function添加一个新的空函数行。
- 乘法用 *、幂用 ^——例如 2*x^2，而不是 2x²。
- 启用 Derivative 可直观查看斜率在何处变号（局部极值）。
- 放大交点可更精确地读取根。
- 隐藏未使用的曲线，使图形和图例保持清晰。
- 三角函数默认用弧度，角度请用 pi/180 转换。
- 曲线断开通常表示函数在该点无定义（如 1/x 在 x=0）。
- 分段函数可用 min、max、abs 拼凑，例如 max(0, x) 是 ReLU。
- 断网后页面已加载仍可使用，所有计算都在本地。
免费的在线 2D 函数绘图工具，可同时叠加多条曲线，并显示数值导数与任意点的切线。支持鼠标拖拽平移、滚轮缩放、自动网格与刻度，所有计算都在浏览器本地完成。适合高中函数学习、大学微积分可视化，以及工程师快速验证一个表达式的形状。
这个工具能做什么
你输入关于 x 的表达式，它把对应的曲线画在坐标系里。可以同时画多条曲线对比形状，可以叠加一条虚线表示导数 f′(x)，还可以在任意 x 处画出切线并读出该点的函数值与斜率。无需注册、无需安装，打开网页就能用。
函数图像：解析几何的诞生
把"式子"变成"图形"的想法，是 17 世纪笛卡尔与费马几乎同时提出的，史称解析几何。它的核心洞见是：方程 f(x,y)=0 的解集可以在平面上画成一条曲线，于是代数问题可以转化成几何问题，反之亦然。今天你在屏幕上看到的每一条 sin 曲线、每一条抛物线，都是这套思想的延续。
导数的几何意义：曲线在某一点的"陡峭程度"
导数 f′(x) 是切线的斜率，它刻画函数在该点变化的快慢。f′(x)>0 表示函数在上升，f′(x)<0 表示在下降，f′(x)=0 的点往往是"山峰"或"山谷"。打开导数开关，你会看到原函数与导数曲线一上一下地呼应——原函数取极值的位置，恰好是导数过零的位置，这正是费马引理的直观演示。
切线：用直线逼近曲线
在一点附近，光滑曲线可以被它的切线很好地逼近，这叫"局部线性化"，是微积分的核心思想之一。设一个 x 值，本工具会画出该点的切线并显示方程 y = f(a) + f′(a)(x − a)。牛顿迭代、泰勒展开、梯度下降等一大堆算法，本质上都是反复用直线（或平面）去逼近弯曲的对象。
数值导数 vs 符号求导
本工具用中心差分公式 f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) 来计算导数，h 取一个自适应的小值。它的优点是无需知道函数的"求导规则"，对任何能算值的表达式都适用；缺点是会有微小的截断误差，对光滑函数通常有 8-10 位有效数字的精度。如果你需要精确解析表达式，应使用符号计算软件；但要看形状，数值法足够好且更通用。
表达式语法
支持 + − * / ^ 与括号，函数包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、log、exp、sqrt、abs、min、max、pow、floor、ceil、round，常数有 pi 和 e。乘法必须写 *，例如 2*x 而不是 2x。常见示例：x^2 - 4 是抛物线；sin(x) 是正弦；exp(-x^2) 是钟形高斯曲线；1/(1+exp(-x)) 是 S 形的 sigmoid。
弧度制：微积分的默认约定
本工具与几乎所有数学软件一样，把三角函数的输入视为弧度而非角度。原因是只有在弧度制下，sin(x) 的导数才恰好等于 cos(x)，泰勒级数才简洁。如果你想画"30 度的正弦"，请写成 sin(30*pi/180)。忘记这一点是初学者最常见的错误——画出来的 sin(30) ≈ −0.988 而不是 0.5。
如何使用：三步上手
第一步，在 f(x) 输入框输入表达式，例如 x^2 - 4。第二步，点 + Add function 再加一条 sin(x)，观察两条曲线有几个交点。第三步，勾选 Derivative 看导数曲线，勾选 Tangent 并输入 x=1 看该点的切线。配合鼠标拖拽与滚轮，你可以自由地放大感兴趣的局部。
现实中的应用
物理学中，位移—时间图的斜率是速度，速度—时间图的斜率是加速度；经济学中，成本函数的导数是边际成本，收益函数的导数是边际收益；工程中，控制系统的阶跃响应、滤波器的频率特性、梁的弯矩分布，全都是先画出函数图像再进行分析。会用图像"读"函数，是理工科学生最重要的基本功之一。
画图的小技巧
如果曲线在某处突然断开，多半是函数在该点无定义，比如 1/x 在 x=0、tan(x) 在 x=π/2。如果图像呈"锯齿状"，说明采样密度跟不上函数变化速度，试着缩小 x 范围或换一个更平滑的表达式。想看周期性，把窗口设成几个周期宽；想看渐近行为，把窗口拉得足够大。
局限性
本工具是数值绘图器，不做符号运算，因此无法识别"可去间断点"或精确标出极值坐标。对 |x| 这类带尖点的函数，导数在尖点处会给出错误结果（中心差分会得到一个介于左右导数之间的值）。对振荡极快的函数如 sin(1/x)，靠近奇点时图像会失真。这些都不是 bug，而是数值方法的固有边界。
常见问题
Q可以绘制多少个函数？
任意多个。每条曲线有独立的颜色、可见性开关、导数开关与切线开关，可单独控制。建议同时显示的曲线不超过 5 条，否则画面会显得杂乱。
Q导数是怎么算出来的？
使用数值中心差分：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，h 自适应选取。这种方法对任何"能算出函数值"的表达式都有效，不需要像符号微分那样套用求导法则。代价是有微小的截断误差，对光滑函数约 8-10 位有效数字。
Q为什么我用 sin(30) 算出来不是 0.5？
因为本工具（以及所有标准数学软件）默认使用弧度制。30 是弧度而不是角度。要表达 30°，请写成 sin(30*pi/180)。弧度制下 sin 的导数才是 cos，公式才最简洁。
Q为什么图像在某个地方断开或消失？
通常是函数在该点无定义，例如 1/x 在 x=0、log(x) 在 x≤0、sqrt(x) 在 x<0。绘图器会把这些点跳过，于是出现视觉上的断点。这不是错误，而是定义域的真实反映。
Q如何找到两条曲线的交点？
把两条曲线 f(x) 与 g(x) 同时画出来，目测交点的大致 x；然后新增一条曲线 f(x) − g(x)，它与 x 轴的交点就是原两条曲线的交点。要更精确，可滚动放大局部，或把 f(x) − g(x) 复制到方程求解器中用二分法求根。
Q为什么 |x| 在 x=0 处的导数看起来是 0？
|x| 在 x=0 处的左导数是 −1、右导数是 +1，数学上导数不存在。但中心差分 (f(h)−f(−h))/(2h) 恰好在该点等于 0，于是数值方法"骗"了你。这是数值导数对不可微点的固有局限，不是工具的 bug。
Q能画分段函数吗？
可以借助 min、max 与 abs 拼凑。例如 max(0, x) 是 ReLU；abs(x) 是绝对值；min(max(x, 0), 1) 是把 x 截断到 [0,1]。虽然不能写 if/else，但用这些函数能覆盖大部分常见分段形状。
Q如何让曲线更平滑？
本工具按等间距采样连接成折线，对变化平缓的函数已经足够光滑。若曲线显得粗糙，说明函数在你的窗口内变化太快——把窗口缩小，或换更"温和"的表达式。对 sin(1/x) 这类在奇点附近无限振荡的函数，任何有限采样都无法完美呈现。
Q图像和函数会被上传到服务器吗？
不会。整个解析器、求值器、绘图器都运行在你的浏览器中，函数表达式从未离开你的设备。你甚至可以断网后继续使用——只要页面已加载。
Q为什么 sin(x) 的导数曲线恰好是 cos(x)？
这是微积分中最优美的恒等式之一。直观地看：sin 在 0 处上升最快（斜率 = 1 = cos(0)），在 π/2 处达到顶点（斜率 = 0 = cos(π/2)），之后开始下降（斜率为负）。把"每一点的斜率"连成曲线，形状恰好就是 cos(x)。打开导数开关画一遍，你会亲眼看到这件事。